Les maîtres de Descartes à La Flèche ont été frappés des dons exceptionnels de leur jeune élève en mathématiques. Par la suite, Descartes n'a pas cessé de souligner la valeur exemplaire de cette science pour donner à l'esprit le sens de la rigueur et le goût de l'exactitude. Jusqu'au moment où il rédige le Discours de la méthode (dont l'un des essais est La Géométrie), Descartes a pratiqué avec ardeur et bonheur les mathématiques. Sa correspondance avec les plus grands mathématiciens de ce temps - qui en compte beaucoup (Fermat, de Beaune, Petit, Hardy, Mydorge, Roberval, Desargues, plus tard le jeune Pascal) - témoigne de son incessante activité en cette matière où il occupe, cela va sans dire, la première place avec Fermat.

L'apport principal de Descartes consiste dans l'application des méthodes de l'algèbre (réformée par Viète au début du siècle) aux problèmes traditionnels de la géométrie tels qu'ils ont été pratiqués sans changement majeur depuis l'antiquité grecque (Apollonius et Archimède notamment). C'est parce qu'il veut épargner une inutile fatigue à l'imagination que Descartes invente le moyen d'exprimer les relations géométriques (entre les droites et les courbes) en équations algébriques, fondant par là ce que l'on appellera la géométrie analytique. Pour cela, il utilise le système des coordonnées rectangulaires qui permettent de rapporter les différents points d'une courbe à deux axes ayant même origine (coordonnées dites depuis cartésiennes). Le début de La Géométrie montre bien en quoi consiste cette nouvelle méthode de réduction des problèmes géométriques à ceux, plus simples et plus faciles, de l'algèbre ; après avoir comparé les opérations de l'arithmétique à celles de la géométrie " touchant les lignes qu'on cherche ", Descartes ajoute ceci : " Ainsi, voulant résoudre quelque problème, on doit d'abord le considérer comme déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu'aux autres. Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l'ordre qui montre, le plus naturellement de tous, en quelle sorte elles dépendent mutuellement les unes des autres... ". On reconnaît là la méthode des équations algébriques, pour lesquelles Descartes propose une notation qui sera retenue par la suite. Il montre ainsi, comme le formule un de ses amis mathématiciens, " la relation et la convenance mutuelle de l'arithmétique et de la géométrie ". On peut ainsi prendre appui sur l'une pour résoudre les problèmes de l'autre, et réciproquement. Les barrières élevées entre les disciplines tombent, montrant ainsi, comme Descartes l'avait écrit aux premières lignes de son premier grand ouvrage, l'unité de l'esprit humain et son identité à travers les opérations les plus diverses.

L'œuvre scientifique

D'une importance capitale pour son temps, l'œuvre scientifique de Descartes n'est souvent pas appréciée à sa juste valeur. En optique, il découvrit la loi de la réfraction et ouvrit la voie à la théorie ondulatoire de la lumière. Systématisant la géométrie analytique, il s'efforça le premier de classer les courbes d'après le type d'équations qui les produisent, contribuant par là à la naissance de la théorie des équations. En mathématiques, on lui doit aussi l'usage qui consiste à utiliser les dernières lettres de l'alphabet pour désigner des valeurs inconnues et les premières pour les valeurs connues, ainsi que la notation en exposant pour exprimer la puissance d'un nombre. La démarche scientifique est au cœur même de son œuvre philosophique : elle est au fondement de sa méthode (expérimentation, doute, recherche d'une certitude), de son programme et de l'idée d'une "mathématique universelle" (mathesis universalis). Pour Descartes, la science constitue une des branches de l'arbre de la philosophie (Principes de la philosophie, préface à l'édition française de 1647).

En 1635, le philosophe et mathématicien français René Descartes publia un texte sur la théorie des équations, avec notamment sa règle des signes pour le nombre de solutions positives et négatives d'une équation 255;

Analytique, géométrie, branche de la géométrie qui représente les courbes et les figures géométriques par des expressions algébriques dans un système de coordonnées.

Coordonnées cartésiennes

La position d'un point du plan peut être déterminée par rapport à deux droites perpendiculaires, appelées axes, en précisant la distance de ce point par rapport à chacun de ces axes. Sur la figure 1, le point a est situé à 1 est situé à 1 unité de l'axe vertical, ou axe des y, et à 4 unités de l'axe horizontal, ou axe des x. Les coordonnées du point A sont donc 1 et 4, ce que l'on note comme suit sont donc 1 et 4, ce que l'on note comme suit : A (1;4). Cela signifie que, dans le repère (xOy), O étant le point d'intersection des deux axes, ou origine du repère, le point A a 1 comme abscisse (x) et 4 comme ordonnée (y). Les valeurs positives de x correspondent aux points situés à droite de l'axe des y, et les valeurs négatives correspondent aux points placés à gauche. De même, les valeurs positives de y correspondent aux points situés au-dessus de l'axe des x et les valeurs négatives de y correspondent aux points placés en dessous. Ainsi, le point B de la figure de la figure 1 a pour coordonnées : x = 5, y = 0. De la même façon, on peut déterminer la position de points dans l'espace par rapport à trois droites perpendiculaires (les axes), le troisième axe étant généralement appelé axe des z

 

Équations cartésiennes

L'équation cartésienne d'une droite est de la forme ax + by + c = 0, a, b et c étant des réels. On peut également déterminer des équations pour les cercles, ellipses et autres coniques, ainsi que pour certaines autres courbes. Les problèmes classiques étudiés en géométrie analytique sont de deux sortes. Étant donné une description géométrique d'un ensemble de points, on peut chercher à déterminer l'équation algébrique satisfaite par ces points. Dans les exemples ci-dessus, l'ensemble des points situés sur la droite passant par les points A et B, ou droite (AB), vérifient l'équation linéaire x +  y = 5. Il s'agit d'une droite oblique, c'est-à-dire coupant les deux axes. Son équation peut donc se mettre sous la forme : ax + by = c. Le second type de problème consiste à décrire le lieu géométrique des points qui satisfont une relation algébrique. Par exemple, un cercle de rayon 3, dont le centre est l'origine du repère, est l'ensemble des points qui satisfont l'équation x² + y² = 9. À partir d'équations de ce type, il est possible de résoudre algébriquement des problèmes de géométrie, tels que la construction du milieu d'un segment ou de la bissectrice d'un angle, la construction de la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné, ou encore le tracé d'un cercle passant par trois points donnés non alignés.

La géométrie analytique a été un élément important du développement des mathématiques, car elle a permis d'unifier les concepts de l'analyse (relations numériques) et de la géométrie (relations spatiales). L'étude des géométries non euclidiennes et des géométries dans les espaces à plus de trois dimensions n'aurait pas été concevable sans une approche analytique. De même, les techniques de la géométrie analytique, en rendant possible la représentation graphique de nombres et d'expressions algébriques, ont apporté de mieux expliquer le calcul infinitésimal, ainsi que la théorie concernant les fonctions et d'autres problèmes plus complexes de mathématiques.

Sources :
Microsoft Encarta