Carl Friedrich GAUSS est né le 30 avril 1777 à Brunswick. Enfant prodige, il apprit seul à lire et à compter à l'âge de 3 ans. En 1788, Gauss commence son instruction à l'aide de Büttner et Bartels, avec qui il apprend l'allemand et le latin. Remarquant ses aptitudes, le duc de Brunswick lui accorda une bourse en 1792. Carl Friedrich fréquenta le Collège de Brunswick de 1792 à 1795 et formula à cette époque la méthode des moindres carrés et une conjecture sur la répartition des nombres premiers. Cette conjecture fut prouvée par Jacques Hadamard en 1896. Puis Gauss se rendit à l’université de Göttingen, où il découvrit le théorème fondamental des résidus quadratiques. En 1799, l’université de Helmstedt lui décerna le titre de docteur pour sa thèse sur la discussion du théorème fondamental d'algèbre. Dans cette thèse, Gauss critiqua sévèrement Legendre, Laplace et d'autres grands mathématiciens pour leur manque de rigueur. Un élève mathématicien qui l’avait rencontré le décrivit comme " ... un homme vénérable, distingué avec l'expression d'un homme heureux. Son aspect et chacun des ses mots dégageaient une extraordinaire impression de puissance. Il avait environ 80 ans, mais on n'apercevait aucune trace de vieillesse ". Dans la salle de lecture de Göttingen, Gauss faisait une étude soigneuse des journaux étrangers, et en particulier, des nouvelles financières. Cela lui permit de gérer une fortune personnelle considérable par des spéculations boursières. Carl Friedrich Gauss mourut à Göttingen, dans son sommeil tôt le matin du 23 février 1855. Gauss publia peu de son vivant, mis à part un traité d’arithmétique Disquisitiones arithmeticae, (1801), un ouvrage de géométrie Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827) et une Théorie générale du magnétisme terrestre (1839). Bon nombre de ses idées, comme celles relatives à la géométrie non euclidienne, ne figurent ainsi que dans sa correspondance. SON OEUVRE Carl Friedrich Gauss a travaillé en mathématiques et en physique incluant la théorie des nombres, l'analyse, la géométrie différentielle, la géodésie*, le magnétisme, l'astronomie et l'optique. Son travail a eu une influence immense dans beaucoup de domaines. Travaux en mathématiques Dans le domaine des probabilités, son nom demeure attaché à la loi normale, dite de Laplace-Gauss, dont la répartition est décrite par la fameuse courbe en cloche, appelée également courbe de Gauss. Cette loi statistique intervient dans les processus aléatoires continus (voir " statistiques "). En géométrie En 1796, Gauss découvrit une solution au problème de construction du polygone régulier de 17 côtés, à la règle et au compas. Poursuivant ses investigations, il démontra que la construction, à la règle et au compas, d’un polygone régulier comportant un nombre impair de côtés n’était possible que pour un nombre égal à l’un des nombres premiers 3, 5, 17, 257 ou 65537, ou à un produit de ces nombres (voir " construction de polygones réguliers "). Par ailleurs, il s’intéressa à la géométrie des surfaces courbes, développée en termes de coordonnées intrinsèques, dites gaussiennes. Cette géométrie particulière, qui ne tient pas compte de l’espace dans lequel se trouve la figure géométrique à étudier, fut à l’origine d’une réflexion plus vaste sur les premiers espaces courbes non euclidiens. En algèbre En 1799, Gauss proposa une première démonstration du théorème fondamental de l’algèbre, qui stipule que le nombre de racines d’une équation algébrique est égal au degré de cette équation. Ce théorème, dont la démonstration avait résisté aux mathématiciens les plus célèbres, est aussi appelé aujourd’hui le théorème de d’Alembert-Gauss. Gauss étudia également certaines séries particulières, les séries hypergéométriques, dont il donna les conditions rigoureuses de convergence. En théorie des nombres, Gauss se révéla très précoce. Encore étudiant, il retrouva de manière rigoureuse les principaux résultats connus depuis Euclide. Puis, il proposa une représentation géométrique des nombres complexes comme points du plan, utilisant ce résultat pour traiter l’équation complexe. Travaux en physique A partir de 1801, Gauss se pencha avec un intérêt croissant sur l’astronomie. Il calcula ainsi les orbites de petits astéroïdes tels Cérès et Pallas. L'astéroïde Cérès avait été brièvement observé en janvier 1801 mais, après une étude de 41 jours, avait été perdu dans l'éclat du soleil. Gauss calcula son orbite en utilisant la méthode des moindres carrés et prédit correctement où et quand Cérès réapparaîtrait. Après cette réussite il accepta un poste d'astronome à l'observatoire de Göttingen. En 1820 Gauss inventa l'héliotrope, un instrument muni d'un miroir mobile qui réfléchissait les rayons du soleil ; il fut utilisé en géodésie*. Pendant la fin des années 1820, en collaboration avec le physicien Wilhelm Weber, Gauss explora diverses branches de la physique et effectua des recherches de base en électromagnétisme, en mécanique, en acoustique et en optique. Tous deux découvrirent ainsi les lois de Kirchhoff et construisirent le premier télégraphe, capable d’envoyer des messages sur une distance de 1500m. *géodésie : science de la forme et des dimensions de la Terre
Statistiques Les statisticiens se sont aperçus que de nombreux ensembles de mesures avaient le même type de distribution. Par exemple, l’ensemble des masses de N haricots prélevés au hasard dans un sac a le même type de distribution que l’ensemble des pressions barométriques enregistrées par différents étudiants lisant successivement sur le même baromètre. Les scientifiques ont donc été amenés à concevoir des modèles mathématiques qui soient le reflet des lois statistiques souvent rencontrées. L’une de ces lois, appelée loi normale, correspond au cas où la densité de probabilité y en fonction de la valeur x peut s’écrire sous la forme : La représentation graphique de cette relation est une courbe en forme de cloche appelée courbe de distribution normale :
Si une variable x a une dimension normale, la probabilité que x soit compris entre a et b est donnée par l’expression :
Construction de polygones réguliers On dit qu’un angle est constructible à la règle et au compas s’il peut être considéré comme l’angle polaire d’un point constructible. La construction d’un polygone régulier à n côtés se ramène donc à la constructibilité de l’angle 2p /n. En 1801, Gauss montra que, si n=2a avec a ≥2, ou si n=1+2(2p), alors 2p /n est constructible. Les nombres de la forme n=1+2(2p) s’appellent des nombres de FERMAT (Pierre de, 1601-1665). Pour p=1, on obtient n=5, et pour p=2, on obtient n=17, d’où la " constructibilité " de ces deux polygones. Pour un nombre de côtés inférieur à 20, on peut construire les polygones réguliers à 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17 et 20 côtés, mais pas ceux à 7, 9, 11, 13, 14, 18 et 19 côtés.
16cos(2p /17) = - 1+√17+√34- 2√17 +√68+12√17+2(-1+√17)√34-2√17-16√34+2√17 Sources : Encyclopédie Microsoft Encarta 98 Thérorie des corps, la règle et le compas, de J.-C. Carréga |
La
construction des polygones à 3, 4, 5 et 15 côtés était connue
d’Euclide (début du IIIè siècle avant J.-C.), la
construction du polygone à 17 côtés a été découverte par Gauss, en
1796, à l’âge de 19 ans. La formule qu’il a trouvée
est :