Historique

Giuseppe Peano naquit à Cuneco en 1858. Professeur à l'académie militaire de Turin, il créa un système signalétique permettant d'énoncer toutes les propositions de logique et de mathématique sans recourir au langage. Fondateur de deux publications de mathématiques, il proposa à travers ses écrit L'Arithmétique de Peano, un exposé axiomatique et déductif de l'arithmétique des entiers naturels. En 1890, il mit au point la courbe de Peano, qui est le premier exemple de fractale. En 1903, ses travaux de recherche d'une langue internationale aboutirent au "latin sans flexions", dont le vocabulaire comprend les mots latins communs au français, à l'anglais et à l'allemand.

Travaux mathématiques

• Le livre que Peano écrit en 1888, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassman preceduto dalle operazioni della logica deduttiva est révolutionnaire en son temps. Il y introduit les notations modernes pour signifier intersection, union, et appartient à. Pourtant, lors de sa date d'impression, il semble que le livre de Peano ait eu un impact mineur et ce n'est que bien plus tard que ses notations furent acceptées et communément utilisées. 
  
  
• Par ailleurs, son livre contient une introduction presque moderne aux espaces linéaires et à l'algèbre linéaire.
  Peano y énonce quatre axiomes concernant un espace linéaire dont les trois:

 

1. (a = b) ssi (b = a), si (a = b) et (b = c) alors (a = c)

2. La somme de deux nombres a et b est définie, i.e. un nombre est défini et noté a + b, appartenant aussi au système et satisfaisant : 

Si (a = b) alors (a + c= b + c), a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c, Et cette dernière valeur peut entre écrite a + b + c.

3. Soit a un objet appartenant à un système S et m un entier positif, alors on entend par ma la somme de m objets égale à a. Donc, pour des objets a, b, ... de S et pour les entiers positifs m, n, ... on a :

Si a = b, alors ma = mb, m(a + b) = ma + mb, (m + n)a = ma + na, m(na) =mna.

4.  On suppose que pour tout nombre réel m, la notation ma a un sens tel que les équations énoncées sont validées.

 

• Peano énonce aussi l'existence d'un objet zéro 0 tel que 0a = 0, que a - b signifie a + (-b) et affirme qu'il est facile de démontrer que a - a = 0 et que 0 + a = a.

Un système linéaire est définit selon ses quatre conditions.

• Peano définit le nombre de dimensions d'un système linéaire comme étant le nombre maximal d'objets indépendant linéairement dans le système. Il démontre que les espaces dimensionnels finis ont une base et donne des exemples d'espaces dimensionnels infinis. Il considère des fonctions entières f(x) de variable x et définit le produit de f(x) par un nombre réel. Il énonce : 
  

si on considère seulement les fonctions de degré n, alors ces fonctions forment un système linéaire avec n + 1 dimensions. Si on considère toutes les fonctions de degré arbitraire, alors ces fonctions forment un système linéaire avec une infinité de dimensions.

Sources
Encyclopédie Universalis
Encarta